14
Аноним
Математика
14 января 00:55

На шахматном турнире каждый из участников должен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли

из турнира, сыграв только по 4 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 62. Сколько всего было участников турнира?

Ответ или решение1

Афанасьев Максим

   1. Предположим, первоначально было n + 2 участников шахматного турнира.

   2. Число партий, сыгранных двумя выбывшими участниками, равно 7 или 8, в зависимости от того, играли ли они друг с другом. Для остальных же партий получим:

  • k = 62 - 8 = 54 или:
  • k = 62 - 7 = 55.

   3. Каждая пара среди остальных n участников сыграла по одной партии. Количество таких пар равно сочетанию из n по 2, следовательно, можем составить уравнение:

  • С(n; 2) = k;
  • n!/(2! * (n - 2)!) = k;
  • n * (n - 1)/2 = k;
  • n * (n - 1) = 2k;
  • n^2 - n - 2k = 0;
  • D = 1^2 + 4 * 2k = 1 + 8k.

   1) k = 54:

      D = 1 + 8 * 54 = 432, не является квадратом натурального числа.

   2) k = 55:

  • D = 1 + 8 * 55 = 441 = 21^2.
  • n = (1 ± 21)/2;
  • n1 = (1 - 21)/2 = -20/2 = -10, не удовлетворяет условию задачи;
  • n2 = (1 + 21)/2 = 22/2 = 11.

   Всех участников:

      n + 2 = 11 + 2 = 13.

   Ответ: 13 участников.

0 / 10000
ВходРегистрация

Вход

или

Регистрация